$$$x$$$ değişkenine göre $$$e^{\frac{x}{y}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$.

$$$u=\frac{x}{y}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = y du$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=y$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A