Intégrale de $$$e^{\frac{x}{y}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{y}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = y du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=y$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{y}$$$ :

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A