Propriedades da hipérbole $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$

Encontre o centro, os focos, os vértices, os co-vértices, o comprimento do eixo maior, o comprimento do semi-eixo maior, o comprimento do eixo menor, o comprimento do semi-eixo menor, os latera recta, o comprimento dos latera recta (largura focal), o parâmetro focal, a excentricidade, a excentricidade linear (distância focal), as diretrizes, as assíntotas, os interceptos em x, os interceptos em y, o domínio e a imagem da hipérbole $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$.

A equação de uma hipérbole é $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, em que $$$\left(h, k\right)$$$ é o centro e $$$a$$$ e $$$b$$$ são os comprimentos dos semi-eixos transverso e conjugado.

Nossa hipérbole nesta forma é $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{25} - \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{49} = 1$$$.

Assim, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 5$$$, $$$b = 7$$$.

A forma padrão é $$$\frac{x^{2}}{5^{2}} - \frac{y^{2}}{7^{2}} = 1$$$.

A forma de vértice é $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$.

A forma geral é $$$49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0$$$.

A excentricidade linear (distância focal) é $$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{74}$$$.

A excentricidade é $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{74}}{5}$$$.

O primeiro foco é $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{74}, 0\right)$$$.

O segundo foco é $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{74}, 0\right)$$$.

O primeiro vértice é $$$\left(h - a, k\right) = \left(-5, 0\right)$$$.

O segundo vértice é $$$\left(h + a, k\right) = \left(5, 0\right)$$$.

O primeiro co-vértice é $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -7\right)$$$.

O segundo co-vértice é $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 7\right)$$$.

O comprimento do eixo maior é $$$2 a = 10$$$.

O comprimento do eixo menor é $$$2 b = 14$$$.

O parâmetro focal é a distância entre o foco e a diretriz: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{49 \sqrt{74}}{74}$$$.

Os latera recta são as retas paralelas ao eixo menor que passam pelos focos.

O primeiro lado reto é $$$x = - \sqrt{74}$$$.

O segundo lado reto é $$$x = \sqrt{74}$$$.

As extremidades do primeiro lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0 \\ x = - \sqrt{74} \end{cases}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de sistemas de equações).

As extremidades do primeiro lado reto são $$$\left(- \sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)$$$.

As extremidades do segundo lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0 \\ x = \sqrt{74} \end{cases}$$$ (para ver os passos, veja calculadora de sistemas de equações).

Os extremos do segundo lado reto são $$$\left(\sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)$$$.

O comprimento dos lados retos (largura focal) é $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{98}{5}$$$.

A primeira diretriz é $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{25 \sqrt{74}}{74}$$$.

A segunda diretriz é $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{25 \sqrt{74}}{74}$$$.

A primeira assíntota é $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{7 x}{5}$$$.

A segunda assíntota é $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{7 x}{5}$$$.

Os interceptos em x podem ser encontrados definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo em relação a $$$x$$$ (para as etapas, consulte calculadora de interceptos).

interceptos em x: $$$\left(-5, 0\right)$$$, $$$\left(5, 0\right)$$$

As interseções com o eixo y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para os passos, veja calculadora de interceptos).

Como não existem soluções reais, não há interseções com o eixo y.

Forma padrão/equação: $$$\frac{x^{2}}{5^{2}} - \frac{y^{2}}{7^{2}} = 1$$$A.

Forma/equação de vértice: $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$A.

Forma/equação geral: $$$49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0$$$A.

Primeira forma/equação foco-diretriz: $$$\left(x + \sqrt{74}\right)^{2} + y^{2} = \frac{74 \left(x + \frac{25 \sqrt{74}}{74}\right)^{2}}{25}$$$A.

Segunda forma/equação foco-diretriz: $$$\left(x - \sqrt{74}\right)^{2} + y^{2} = \frac{74 \left(x - \frac{25 \sqrt{74}}{74}\right)^{2}}{25}$$$A.

Gráfico: veja a calculadora gráfica.

Centro: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Primeiro foco: $$$\left(- \sqrt{74}, 0\right)\approx \left(-8.602325267042627, 0\right)$$$A.

Segundo foco: $$$\left(\sqrt{74}, 0\right)\approx \left(8.602325267042627, 0\right)$$$A.

Primeiro vértice: $$$\left(-5, 0\right)$$$A.

Segundo vértice: $$$\left(5, 0\right)$$$A.

Primeiro co-vértice: $$$\left(0, -7\right)$$$A.

Segundo co-vértice: $$$\left(0, 7\right)$$$A.

Comprimento do eixo maior (transverso): $$$10$$$A.

Comprimento do semieixo maior: $$$5$$$A.

Comprimento do eixo menor (conjugado): $$$14$$$A.

Comprimento do semieixo menor: $$$7$$$A.

Primeiro lado reto: $$$x = - \sqrt{74}\approx -8.602325267042627$$$A.

Segundo lado reto: $$$x = \sqrt{74}\approx 8.602325267042627$$$A.

Extremidades do primeiro lado reto: $$$\left(- \sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)\approx \left(-8.602325267042627, -9.8\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)\approx \left(-8.602325267042627, 9.8\right)$$$A.

Extremidades do segundo lado reto: $$$\left(\sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)\approx \left(8.602325267042627, -9.8\right)$$$, $$$\left(\sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)\approx \left(8.602325267042627, 9.8\right)$$$A.

Comprimento dos lados retos (largura focal): $$$\frac{98}{5} = 19.6$$$A.

Parâmetro focal: $$$\frac{49 \sqrt{74}}{74}\approx 5.696134298447145$$$A.

Excentricidade: $$$\frac{\sqrt{74}}{5}\approx 1.720465053408525$$$A.

Excentricidade linear (distância focal): $$$\sqrt{74}\approx 8.602325267042627$$$A.

Primeira diretriz: $$$x = - \frac{25 \sqrt{74}}{74}\approx -2.906190968595482$$$A.

Segunda diretriz: $$$x = \frac{25 \sqrt{74}}{74}\approx 2.906190968595482$$$A.

Primeira assíntota: $$$y = - \frac{7 x}{5} = - 1.4 x$$$A.

Segunda assíntota: $$$y = \frac{7 x}{5} = 1.4 x$$$A.

Interseções com o eixo x: $$$\left(-5, 0\right)$$$, $$$\left(5, 0\right)$$$A.

interseções com o eixo y: sem interceptos no eixo y.

Domínio: $$$\left(-\infty, -5\right] \cup \left[5, \infty\right)$$$A.

Imagem: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.