雙曲線 $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$ 的性質

求雙曲線 $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$ 的中心、焦點、頂點、副頂點、長軸長度、長半軸長度、短軸長度、短半軸長度、通徑、通徑的長度（焦寬）、焦參數、離心率、線性離心率（焦距）、準線、漸近線、x 軸截距、y 軸截距、定義域與值域。

雙曲線的方程為 $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$，其中 $$$\left(h, k\right)$$$ 為中心，$$$a$$$ 和 $$$b$$$ 分別是半長軸與半短軸的長度。

我們的雙曲線在此形式下為 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{25} - \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{49} = 1$$$。

因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 5$$$, $$$b = 7$$$。

標準形式為 $$$\frac{x^{2}}{5^{2}} - \frac{y^{2}}{7^{2}} = 1$$$。

頂點式為 $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$。

一般式為 $$$49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0$$$。

線離心距（半焦距）為 $$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{74}$$$。

離心率為 $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{74}}{5}$$$。

第一焦點為$$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{74}, 0\right)$$$。

第二個焦點是$$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{74}, 0\right)$$$。

第一個頂點為 $$$\left(h - a, k\right) = \left(-5, 0\right)$$$。

第二個頂點為 $$$\left(h + a, k\right) = \left(5, 0\right)$$$。

第一個副頂點為 $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -7\right)$$$。

第二個副頂點為 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 7\right)$$$。

長軸的長度為 $$$2 a = 10$$$。

短軸的長度為 $$$2 b = 14$$$。

焦準距是焦點與準線之間的距離: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{49 \sqrt{74}}{74}$$$.

準弦是與短軸平行並通過焦點的直線。

第一條準弦是 $$$x = - \sqrt{74}$$$。

第二條準通徑為 $$$x = \sqrt{74}$$$。

第一條準通徑的端點可透過解方程組 $$$\begin{cases} 49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0 \\ x = - \sqrt{74} \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 方程組計算器）。

第一條通徑的端點為 $$$\left(- \sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)$$$。

第二條通徑的端點可由解聯立方程組 $$$\begin{cases} 49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0 \\ x = \sqrt{74} \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 聯立方程組計算器）。

第二條通徑的端點為 $$$\left(\sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)$$$。

準通徑（焦點弦）的長度為 $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{98}{5}$$$。

第一條準線為 $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{25 \sqrt{74}}{74}$$$。

第二條準線為 $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{25 \sqrt{74}}{74}$$$。

第一條漸近線為 $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{7 x}{5}$$$。

第二條漸近線為 $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{7 x}{5}$$$。

可透過在方程中令 $$$y = 0$$$，並求解 $$$x$$$，來求得 x 截距（步驟請見 intercepts calculator）。

x 軸截距: $$$\left(-5, 0\right)$$$, $$$\left(5, 0\right)$$$

y 軸截距可透過將$$$x = 0$$$代入方程並解出$$$y$$$來求得：（步驟請參見 截距計算器）。

由於沒有實數解，因此沒有 y 軸截距。

標準式/方程式: $$$\frac{x^{2}}{5^{2}} - \frac{y^{2}}{7^{2}} = 1$$$A.

頂點式/方程式：$$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$A。

一般式/方程式: $$$49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0$$$A.

第一組焦點-準線形式/方程式：$$$\left(x + \sqrt{74}\right)^{2} + y^{2} = \frac{74 \left(x + \frac{25 \sqrt{74}}{74}\right)^{2}}{25}$$$A。

第二焦點-準線形式/方程：$$$\left(x - \sqrt{74}\right)^{2} + y^{2} = \frac{74 \left(x - \frac{25 \sqrt{74}}{74}\right)^{2}}{25}$$$A

圖形：請參見繪圖計算器。

中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。

第一焦點：$$$\left(- \sqrt{74}, 0\right)\approx \left(-8.602325267042627, 0\right)$$$A。

第二焦點：$$$\left(\sqrt{74}, 0\right)\approx \left(8.602325267042627, 0\right)$$$A。

第一個頂點：$$$\left(-5, 0\right)$$$A。

第二個頂點: $$$\left(5, 0\right)$$$A.

第一個共頂點：$$$\left(0, -7\right)$$$A。

第二個副頂點：$$$\left(0, 7\right)$$$A。

長（實）軸長度：$$$10$$$A。

長半軸長度：$$$5$$$A。

短 (共軛) 軸長: $$$14$$$A.

短半軸長度：$$$7$$$A。

第一準弦：$$$x = - \sqrt{74}\approx -8.602325267042627$$$A。

第二條通徑：$$$x = \sqrt{74}\approx 8.602325267042627$$$A。

第一條通徑的端點：$$$\left(- \sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)\approx \left(-8.602325267042627, -9.8\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)\approx \left(-8.602325267042627, 9.8\right)$$$A。

第二條準弦的端點：$$$\left(\sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)\approx \left(8.602325267042627, -9.8\right)$$$, $$$\left(\sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)\approx \left(8.602325267042627, 9.8\right)$$$A。

準弦的長度（焦寬）：$$$\frac{98}{5} = 19.6$$$A。

焦點參數：$$$\frac{49 \sqrt{74}}{74}\approx 5.696134298447145$$$A。

離心率：$$$\frac{\sqrt{74}}{5}\approx 1.720465053408525$$$A。

離心距（焦點距離）：$$$\sqrt{74}\approx 8.602325267042627$$$A。

第一準線：$$$x = - \frac{25 \sqrt{74}}{74}\approx -2.906190968595482$$$A。

第二準線：$$$x = \frac{25 \sqrt{74}}{74}\approx 2.906190968595482$$$A。

第一條漸近線：$$$y = - \frac{7 x}{5} = - 1.4 x$$$A。

第二條漸近線：$$$y = \frac{7 x}{5} = 1.4 x$$$A。

x 軸截距：$$$\left(-5, 0\right)$$$, $$$\left(5, 0\right)$$$A。

y 軸截距：沒有 y 軸截距。

定義域: $$$\left(-\infty, -5\right] \cup \left[5, \infty\right)$$$A.

值域：$$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A。