쌍곡선 $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$의 성질

쌍곡선 $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$의 중심, 초점, 정점, 부정점, 장축의 길이, 장반경, 단축의 길이, 단반경, 통경, 통경의 길이(초점폭), 초점매개변수, 이심률, 선형 이심률(초점거리), 준선, 점근선, x절편, y절편, 정의역, 치역을 구하시오.

쌍곡선의 방정식은 $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$이며, 여기서 $$$\left(h, k\right)$$$는 중심이고 $$$a$$$와 $$$b$$$는 반장축과 반단축의 길이이다.

이 꼴에서 우리의 쌍곡선은 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{25} - \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{49} = 1$$$입니다.

따라서 $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 5$$$, $$$b = 7$$$.

표준형은 $$$\frac{x^{2}}{5^{2}} - \frac{y^{2}}{7^{2}} = 1$$$입니다.

꼭짓점형은 $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$입니다.

일반형은 $$$49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0$$$입니다.

선이심(초점거리)은 $$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{74}$$$입니다.

이심률은 $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{74}}{5}$$$입니다.

첫 번째 초점은 $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{74}, 0\right)$$$입니다.

두 번째 초점은 $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{74}, 0\right)$$$입니다.

첫 번째 꼭짓점은 $$$\left(h - a, k\right) = \left(-5, 0\right)$$$입니다.

두 번째 꼭짓점은 $$$\left(h + a, k\right) = \left(5, 0\right)$$$입니다.

첫 번째 보조 정점은 $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -7\right)$$$입니다.

두 번째 부정점은 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 7\right)$$$입니다.

장축의 길이는 $$$2 a = 10$$$입니다.

단축의 길이는 $$$2 b = 14$$$입니다.

초점 매개변수는 초점과 준선 사이의 거리입니다: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{49 \sqrt{74}}{74}$$$.

Latera recta는 각 초점을 지나고 단축에 평행한 직선들이다.

첫 번째 준현은 $$$x = - \sqrt{74}$$$입니다.

두 번째 준통경은 $$$x = \sqrt{74}$$$입니다.

첫 번째 통경의 끝점은 연립방정식 $$$\begin{cases} 49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0 \\ x = - \sqrt{74} \end{cases}$$$를 풀어 구할 수 있습니다(단계는 연립방정식 계산기를 참조하세요).

첫 번째 준점현의 양 끝점은 $$$\left(- \sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)$$$입니다.

제2 준현의 양 끝점은 연립방정식 $$$\begin{cases} 49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0 \\ x = \sqrt{74} \end{cases}$$$를 풀면 구할 수 있습니다(풀이 단계는 연립방정식 계산기를 참조하세요).

제2 통경의 양 끝점은 $$$\left(\sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)$$$입니다.

latera recta(초점 너비)의 길이는 $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{98}{5}$$$입니다.

첫 번째 준선은 $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{25 \sqrt{74}}{74}$$$입니다.

두 번째 준선은 $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{25 \sqrt{74}}{74}$$$입니다.

첫 번째 점근선은 $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{7 x}{5}$$$입니다.

두 번째 점근선은 $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{7 x}{5}$$$입니다.

x절편은 방정식에 $$$y = 0$$$를 대입하고 $$$x$$$에 대해 풀면 구할 수 있습니다(단계는 intercepts calculator를 참고하세요).

x절편: $$$\left(-5, 0\right)$$$, $$$\left(5, 0\right)$$$

y-절편은 방정식에서 $$$x = 0$$$를 0으로 두고 $$$y$$$에 대해 풀어 구할 수 있습니다(단계는 intercepts calculator 참고).

실수해가 없으므로 y-절편이 없습니다.

표준형/방정식: $$$\frac{x^{2}}{5^{2}} - \frac{y^{2}}{7^{2}} = 1$$$A.

꼭짓점형/방정식: $$$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{49} = 1$$$A.

일반형/방정식: $$$49 x^{2} - 25 y^{2} - 1225 = 0$$$A.

첫 번째 초점-준선 형식/방정식: $$$\left(x + \sqrt{74}\right)^{2} + y^{2} = \frac{74 \left(x + \frac{25 \sqrt{74}}{74}\right)^{2}}{25}$$$A.

두 번째 초점-준선 형태/방정식: $$$\left(x - \sqrt{74}\right)^{2} + y^{2} = \frac{74 \left(x - \frac{25 \sqrt{74}}{74}\right)^{2}}{25}$$$A.

그래프: 그래프 계산기를 참고하세요.

중심: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

첫 번째 초점: $$$\left(- \sqrt{74}, 0\right)\approx \left(-8.602325267042627, 0\right)$$$A.

두 번째 초점: $$$\left(\sqrt{74}, 0\right)\approx \left(8.602325267042627, 0\right)$$$A.

첫 번째 꼭짓점: $$$\left(-5, 0\right)$$$A.

두 번째 정점: $$$\left(5, 0\right)$$$A.

첫 번째 부정점: $$$\left(0, -7\right)$$$A.

두 번째 보조 꼭짓점: $$$\left(0, 7\right)$$$A.

장축(실축) 길이: $$$10$$$A.

장반경의 길이: $$$5$$$A.

단축(켤레축) 길이: $$$14$$$A.

준단축의 길이: $$$7$$$A.

첫 번째 통경: $$$x = - \sqrt{74}\approx -8.602325267042627$$$A.

두 번째 준통경: $$$x = \sqrt{74}\approx 8.602325267042627$$$A.

제1 통경의 양끝점: $$$\left(- \sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)\approx \left(-8.602325267042627, -9.8\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)\approx \left(-8.602325267042627, 9.8\right)$$$A.

두 번째 준점선의 양 끝점: $$$\left(\sqrt{74}, - \frac{49}{5}\right)\approx \left(8.602325267042627, -9.8\right)$$$, $$$\left(\sqrt{74}, \frac{49}{5}\right)\approx \left(8.602325267042627, 9.8\right)$$$A.

준직경의 길이(초점 너비): $$$\frac{98}{5} = 19.6$$$A.

초점 매개변수: $$$\frac{49 \sqrt{74}}{74}\approx 5.696134298447145$$$A.

이심률: $$$\frac{\sqrt{74}}{5}\approx 1.720465053408525$$$A.

선이심(초점거리): $$$\sqrt{74}\approx 8.602325267042627$$$A.

첫 번째 준선: $$$x = - \frac{25 \sqrt{74}}{74}\approx -2.906190968595482$$$A.

두 번째 준선: $$$x = \frac{25 \sqrt{74}}{74}\approx 2.906190968595482$$$A.

첫 번째 점근선: $$$y = - \frac{7 x}{5} = - 1.4 x$$$A.

두 번째 점근선: $$$y = \frac{7 x}{5} = 1.4 x$$$A.

x-절편: $$$\left(-5, 0\right)$$$, $$$\left(5, 0\right)$$$A.

y절편: y절편 없음.

정의역: $$$\left(-\infty, -5\right] \cup \left[5, \infty\right)$$$A.

치역: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.