Integraal van $$$e^{x} \sin{\left(x \right)}$$$

Bepaal $$$\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx$$$.

Voor de integraal $$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Zij $$$\operatorname{u}=\sin{\left(x \right)}$$$ en $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Dan $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\cos{\left(x \right)} dx$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (de stappen zijn te zien »).

Dus,

$${\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}={\color{red}{\left(e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Voor de integraal $$$\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Zij $$$\operatorname{u}=\cos{\left(x \right)}$$$ en $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Dan $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=- \sin{\left(x \right)} dx$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (de stappen zijn te zien »).

Dus,

$$e^{x} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}}}=e^{x} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(\cos{\left(x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \left(- \sin{\left(x \right)}\right) d x}\right)}}=e^{x} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int{\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)d x}\right)}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}$$$:

$$e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)d x}}} = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\left(- \int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

We zijn uitgekomen bij een integraal die we al eerder hebben gezien.

Dus hebben we de volgende eenvoudige vergelijking voor de integraal verkregen:

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}$$

Door het op te lossen, krijgen we dat

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}$$

Dus,

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}$$

Vereenvoudig:

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + C$$$A