$$$e^{x} \sin{\left(x \right)}$$$ 的积分

求$$$\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx$$$。

对于积分$$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\sin{\left(x \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\cos{\left(x \right)} dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}={\color{red}{\left(e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

对于积分$$$\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\cos{\left(x \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=- \sin{\left(x \right)} dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (步骤见 »)。

该积分可以改写为

$$e^{x} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}}}=e^{x} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(\cos{\left(x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \left(- \sin{\left(x \right)}\right) d x}\right)}}=e^{x} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int{\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)d x}\right)}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)d x}}} = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\left(- \int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

我们得到了一个之前见过的积分。

因此，我们得到了关于该积分的如下简单等式：

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}$$

解得

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}$$

因此，

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}$$

化简：

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + C$$$A