Intégrale de $$$e^{x} \sin{\left(x \right)}$$$

Déterminez $$$\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx$$$.

Pour l’intégrale $$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\sin{\left(x \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\cos{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}={\color{red}{\left(e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\cos{\left(x \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=- \sin{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale devient

$$e^{x} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}}}=e^{x} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(\cos{\left(x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \left(- \sin{\left(x \right)}\right) d x}\right)}}=e^{x} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int{\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)d x}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}$$$ :

$$e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)d x}}} = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\left(- \int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Nous obtenons une intégrale que nous avons déjà vue.

Ainsi, nous avons obtenu l’équation simple suivante concernant l’intégrale :

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}$$

En résolvant, on obtient que

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}$$

Simplifier:

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + C$$$A