$$$x$$$에 대한 $$$\sec^{2}{\left(x y \right)}$$$의 적분

$$$\int \sec^{2}{\left(x y \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=x y$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{y}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(x y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(u \right)}}{y} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{y}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(u \right)}}{y} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}{y}}}$$

$$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$의 적분은 $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}}{y}$$

다음 $$$u=x y$$$을 기억하라:

$$\frac{\tan{\left({\color{red}{u}} \right)}}{y} = \frac{\tan{\left({\color{red}{x y}} \right)}}{y}$$

따라서,

$$\int{\sec^{2}{\left(x y \right)} d x} = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sec^{2}{\left(x y \right)} d x} = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y}+C$$

$$$\int \sec^{2}{\left(x y \right)}\, dx = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y} + C$$$A