$$$e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}$$$의 적분

$$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=e^{- x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(e^{- x}\right)^{\prime }dx = - e^{- x} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$e^{- x} dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u \sin{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u \sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

적분 $$$\int{u \sin{\left(u \right)} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{c}=u$$$와 $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(u \right)} du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{dc}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(u \right)} d u}=- \cos{\left(u \right)}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$- {\color{red}{\int{u \sin{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot \left(- \cos{\left(u \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right) \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(- u \cos{\left(u \right)} - \int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}}} = u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

다음 $$$u=e^{- x}$$$을 기억하라:

$$- \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} + {\color{red}{u}} \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \sin{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)} + {\color{red}{e^{- x}}} \cos{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)}$$

따라서,

$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}+C$$

$$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx = \left(- \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}\right) + C$$$A