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$$$e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=e^{- x}$$$。
則 $$$du=\left(e^{- x}\right)^{\prime }dx = - e^{- x} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$e^{- x} dx = - du$$$。
因此，
$${\color{red}{\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u \sin{\left(u \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u \sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$
對於積分 $$$\int{u \sin{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$。
令 $$$\operatorname{c}=u$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(u \right)} du$$$。
則 $$$\operatorname{dc}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(u \right)} d u}=- \cos{\left(u \right)}$$$（步驟見 »）。
因此，
$$- {\color{red}{\int{u \sin{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot \left(- \cos{\left(u \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right) \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(- u \cos{\left(u \right)} - \int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：
$$u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}}} = u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$
餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$$u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$
回顧一下 $$$u=e^{- x}$$$：
$$- \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} + {\color{red}{u}} \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \sin{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)} + {\color{red}{e^{- x}}} \cos{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)}$$
因此，
$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}$$
加上積分常數：
$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}+C$$
答案
$$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx = \left(- \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}\right) + C$$$A