Intégrale de $$$e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}$$$

Déterminez $$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=e^{- x}$$$.

Alors $$$du=\left(e^{- x}\right)^{\prime }dx = - e^{- x} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$e^{- x} dx = - du$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = u \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u \sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{u \sin{\left(u \right)} d u}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$.

Soient $$$\operatorname{c}=u$$$ et $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(u \right)} du$$$.

Donc $$$\operatorname{dc}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(u \right)} d u}=- \cos{\left(u \right)}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Par conséquent,

$$- {\color{red}{\int{u \sin{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot \left(- \cos{\left(u \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right) \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(- u \cos{\left(u \right)} - \int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}}} = u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=e^{- x}$$$ :

$$- \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} + {\color{red}{u}} \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \sin{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)} + {\color{red}{e^{- x}}} \cos{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}+C$$

$$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx = \left(- \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}\right) + C$$$A