$$$e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}$$$ 的积分

求$$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx$$$。

设$$$u=e^{- x}$$$。

则$$$du=\left(e^{- x}\right)^{\prime }dx = - e^{- x} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$e^{- x} dx = - du$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u \sin{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u \sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

对于积分$$$\int{u \sin{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$。

设 $$$\operatorname{c}=u$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(u \right)} du$$$。

则 $$$\operatorname{dc}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(u \right)} d u}=- \cos{\left(u \right)}$$$ (步骤见 »)。

所以，

$$- {\color{red}{\int{u \sin{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot \left(- \cos{\left(u \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right) \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(- u \cos{\left(u \right)} - \int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}\right)}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}}} = u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

余弦函数的积分为 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

回忆一下 $$$u=e^{- x}$$$:

$$- \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} + {\color{red}{u}} \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \sin{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)} + {\color{red}{e^{- x}}} \cos{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)}$$

因此，

$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}+C$$

$$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx = \left(- \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}\right) + C$$$A