$$$e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}$$$の積分

$$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=e^{- x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(e^{- x}\right)^{\prime }dx = - e^{- x} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$e^{- x} dx = - du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- u \sin{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u \sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

積分 $$$\int{u \sin{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{c}=u$$$ と $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(u \right)} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dc}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(u \right)} d u}=- \cos{\left(u \right)}$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$- {\color{red}{\int{u \sin{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot \left(- \cos{\left(u \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right) \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(- u \cos{\left(u \right)} - \int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)d u}}} = u \cos{\left(u \right)} + {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = u \cos{\left(u \right)} - {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=e^{- x}$$$:

$$- \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} + {\color{red}{u}} \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \sin{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)} + {\color{red}{e^{- x}}} \cos{\left({\color{red}{e^{- x}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)} d x} = - \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}+C$$

$$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} \right)}\, dx = \left(- \sin{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}\right) + C$$$A