$$$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 1}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 1}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$가 성립한다.

피적분함수는 다음과 같이 바뀝니다

$$$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 1} = \frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}{\cosh{\left( u \right)} - 1}$$$

$$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}{\cosh{\left( u \right)} - 1}=\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}{\cosh{\left( u \right)} - 1}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}{\cosh{\left( u \right)} - 1} = \frac{\sinh{\left( u \right)}}{\cosh{\left( u \right)} - 1}$$$

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)} - 1} d u}}}$$

쌍곡선 사인을 쌍곡선 코사인으로 표현하고, 분자를 더 변형한 다음, 제곱의 차 공식을 사용하여 간단히 하시오.:

$${\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)} - 1} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(\cosh{\left(u \right)} + 1\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(\cosh{\left(u \right)} + 1\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{\cosh{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{\cosh{\left(u \right)} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{\cosh{\left(u \right)} d u} + {\color{red}{u}}$$

쌍곡코사인의 적분은 $$$\int{\cosh{\left(u \right)} d u} = \sinh{\left(u \right)}$$$:

$$u + {\color{red}{\int{\cosh{\left(u \right)} d u}}} = u + {\color{red}{\sinh{\left(u \right)}}}$$

다음 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\sinh{\left({\color{red}{u}} \right)} + {\color{red}{u}} = \sinh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}} \right)} + {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 1} d x} = \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 1} d x} = \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 1}\, dx = \left(\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}\right) + C$$$A