$$$x$$$에 대한 $$$a^{4^{x}}$$$의 적분

$$$\int a^{4^{x}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=4^{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4^{x}\right)^{\prime }dx = 4^{x} \ln{\left(4 \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$4^{x} dx = \frac{du}{\ln{\left(4 \right)}}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{a^{4^{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a^{u}}{2 u \ln{\left(2 \right)}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{a^{u}}{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{a^{u}}{2 u \ln{\left(2 \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{a^{u}}{u} d u}}{2 \ln{\left(2 \right)}}\right)}}$$

밑변환:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{a^{u}}{u} d u}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u \ln{\left(a \right)}}}{u} d u}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

$$$v=u \ln{\left(a \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u \ln{\left(a \right)}\right)^{\prime }du = \ln{\left(a \right)} du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = \frac{dv}{\ln{\left(a \right)}}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u \ln{\left(a \right)}}}{u} d u}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

이 적분(지수적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(v \right)}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

다음 $$$v=u \ln{\left(a \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u \ln{\left(a \right)}}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

다음 $$$u=4^{x}$$$을 기억하라:

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left(\ln{\left(a \right)} {\color{red}{u}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\ln{\left(a \right)} {\color{red}{4^{x}}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

따라서,

$$\int{a^{4^{x}} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(4^{x} \ln{\left(a \right)} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{a^{4^{x}} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(4^{x} \ln{\left(a \right)} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}+C$$

$$$\int a^{4^{x}}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(4^{x} \ln\left(a\right) \right)}}{2 \ln\left(2\right)} + C$$$A