$$$a^{4^{x}}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int a^{4^{x}}\, dx$$$。

设$$$u=4^{x}$$$。

则$$$du=\left(4^{x}\right)^{\prime }dx = 4^{x} \ln{\left(4 \right)} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$4^{x} dx = \frac{du}{\ln{\left(4 \right)}}$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{a^{4^{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a^{u}}{2 u \ln{\left(2 \right)}} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{a^{u}}{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{a^{u}}{2 u \ln{\left(2 \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{a^{u}}{u} d u}}{2 \ln{\left(2 \right)}}\right)}}$$

换底:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{a^{u}}{u} d u}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u \ln{\left(a \right)}}}{u} d u}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

设$$$v=u \ln{\left(a \right)}$$$。

则$$$dv=\left(u \ln{\left(a \right)}\right)^{\prime }du = \ln{\left(a \right)} du$$$ (步骤见»)，并有$$$du = \frac{dv}{\ln{\left(a \right)}}$$$。

积分变为

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u \ln{\left(a \right)}}}{u} d u}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

该积分（指数积分）没有闭式表达式：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(v \right)}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

回忆一下 $$$v=u \ln{\left(a \right)}$$$:

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u \ln{\left(a \right)}}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

回忆一下 $$$u=4^{x}$$$:

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left(\ln{\left(a \right)} {\color{red}{u}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\ln{\left(a \right)} {\color{red}{4^{x}}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

因此，

$$\int{a^{4^{x}} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(4^{x} \ln{\left(a \right)} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

加上积分常数：

$$\int{a^{4^{x}} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(4^{x} \ln{\left(a \right)} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}+C$$

$$$\int a^{4^{x}}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(4^{x} \ln\left(a\right) \right)}}{2 \ln\left(2\right)} + C$$$A