$$$x$$$ değişkenine göre $$$a^{4^{x}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int a^{4^{x}}\, dx$$$.

$$$u=4^{x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(4^{x}\right)^{\prime }dx = 4^{x} \ln{\left(4 \right)} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$4^{x} dx = \frac{du}{\ln{\left(4 \right)}}$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{a^{4^{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a^{u}}{2 u \ln{\left(2 \right)}} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{a^{u}}{u}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{a^{u}}{2 u \ln{\left(2 \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{a^{u}}{u} d u}}{2 \ln{\left(2 \right)}}\right)}}$$

Tabanı değiştir:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{a^{u}}{u} d u}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u \ln{\left(a \right)}}}{u} d u}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

$$$v=u \ln{\left(a \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(u \ln{\left(a \right)}\right)^{\prime }du = \ln{\left(a \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$du = \frac{dv}{\ln{\left(a \right)}}$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u \ln{\left(a \right)}}}{u} d u}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

Bu integralin (Üstel İntegral) kapalı biçimli bir ifadesi yok:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(v \right)}}}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

Hatırlayın ki $$$v=u \ln{\left(a \right)}$$$:

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u \ln{\left(a \right)}}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=4^{x}$$$:

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left(\ln{\left(a \right)} {\color{red}{u}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\ln{\left(a \right)} {\color{red}{4^{x}}} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{a^{4^{x}} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(4^{x} \ln{\left(a \right)} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{a^{4^{x}} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(4^{x} \ln{\left(a \right)} \right)}}{2 \ln{\left(2 \right)}}+C$$

$$$\int a^{4^{x}}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(4^{x} \ln\left(a\right) \right)}}{2 \ln\left(2\right)} + C$$$A