$$$\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$의 적분

$$$\int \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=x^{2} - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\sqrt{u}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{\sqrt{u}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=- \frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}=2 {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}=2 {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}=2 {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}=2 {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}$$

다음 $$$u=x^{2} - 1$$$을 기억하라:

$$4 \sqrt{{\color{red}{u}}} = 4 \sqrt{{\color{red}{\left(x^{2} - 1\right)}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = 4 \sqrt{x^{2} - 1}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = 4 \sqrt{x^{2} - 1}+C$$

$$$\int \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = 4 \sqrt{x^{2} - 1} + C$$$A