$$$\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$。

令 $$$u=x^{2} - 1$$$。

則 $$$du=\left(x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\sqrt{u}} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2}{\sqrt{u}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=- \frac{1}{2}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}=2 {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}=2 {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}=2 {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}=2 {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=x^{2} - 1$$$：

$$4 \sqrt{{\color{red}{u}}} = 4 \sqrt{{\color{red}{\left(x^{2} - 1\right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = 4 \sqrt{x^{2} - 1}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = 4 \sqrt{x^{2} - 1}+C$$

$$$\int \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = 4 \sqrt{x^{2} - 1} + C$$$A