$$$\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$の積分

$$$\int \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{2} - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\sqrt{u}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{\sqrt{u}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}\right)}}$$

$$$n=- \frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}=2 {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}=2 {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}=2 {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}=2 {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{2} - 1$$$:

$$4 \sqrt{{\color{red}{u}}} = 4 \sqrt{{\color{red}{\left(x^{2} - 1\right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = 4 \sqrt{x^{2} - 1}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = 4 \sqrt{x^{2} - 1}+C$$

$$$\int \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = 4 \sqrt{x^{2} - 1} + C$$$A