$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$x=\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\right)^{\prime }du = \frac{\cos{\left(u \right)}}{2} du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$$$가 성립한다.

피적분함수는 다음과 같이 바뀝니다

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( u \right)}}$$$

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$에 적용하십시오:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}$$

다음 $$$u=\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{u}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx = \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A