$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx$$$。

令 $$$x=\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$$$。

則 $$$dx=\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\right)^{\prime }du = \frac{\cos{\left(u \right)}}{2} du$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$u=\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$$$。

被積函數變為

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

使用恆等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

假設 $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( u \right)}}$$$

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}}$$

配合 $$$c=\frac{1}{2}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx = \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A