$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx$$$.

$$$x=\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$$$ olsun.

O halde $$$dx=\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\right)^{\prime }du = \frac{\cos{\left(u \right)}}{2} du$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$u=\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$$$ elde edilir.

Dolayısıyla,

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( u \right)}}$$$

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}}$$

$$$c=\frac{1}{2}$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}}}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{2}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx = \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A