$$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$$$の積分

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

この積分（正弦積分）には閉形式はありません:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x} = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x} = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} + C$$$A