Intégrale de $$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$$$

Déterminez $$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx$$$.

Soit $$$u=2 x$$$.

Alors $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

Cette intégrale (Intégrale sinus) n’admet pas de forme fermée :

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=2 x$$$ :

$$\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x} = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x} = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} + C$$$A