Ολοκλήρωμα του $$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx$$$.

Έστω $$$u=2 x$$$.

Τότε $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Επομένως,

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

Αυτό το ολοκλήρωμα (Ημιτονοειδές ολοκλήρωμα) δεν έχει κλειστή μορφή:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=2 x$$$:

$$\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x} = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x} = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} + C$$$A