Integralen av $$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$$$

Bestäm $$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx$$$.

Låt $$$u=2 x$$$ vara.

Då $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

Denna integral (Sinusintegralen) har ingen sluten form:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=2 x$$$:

$$\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x} = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} d x} = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx = \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} + C$$$A