$$$\sin{\left(4 y_{} \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(4 y_{} \right)}\, dy_{}$$$ を求めよ。

$$$u=4 y_{}$$$ とする。

すると $$$du=\left(4 y_{}\right)^{\prime }dy_{} = 4 dy_{}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy_{} = \frac{du}{4}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\sin{\left(4 y_{} \right)} d y_{}}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{4} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=4 y_{}$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(4 y_{}\right)}} \right)}}{4}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(4 y_{} \right)} d y_{}} = - \frac{\cos{\left(4 y_{} \right)}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(4 y_{} \right)} d y_{}} = - \frac{\cos{\left(4 y_{} \right)}}{4}+C$$

$$$\int \sin{\left(4 y_{} \right)}\, dy_{} = - \frac{\cos{\left(4 y_{} \right)}}{4} + C$$$A