$$$y^{2} \ln\left(x^{2}\right)$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int y^{2} \ln\left(x^{2}\right)\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{y^{2} \ln{\left(x^{2} \right)} d x}=\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2 y^{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 y^{2} \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$2 y^{2} {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=2 y^{2} {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=2 y^{2} {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$2 y^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{1 d x}}}\right) = 2 y^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{x}}\right)$$

したがって、

$$\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = 2 y^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - x\right)$$

簡単化せよ:

$$\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = 2 x y^{2} \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = 2 x y^{2} \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int y^{2} \ln\left(x^{2}\right)\, dx = 2 x y^{2} \left(\ln\left(x\right) - 1\right) + C$$$A