Intégrale de $$$y^{2} \ln\left(x^{2}\right)$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int y^{2} \ln\left(x^{2}\right)\, dx$$$.

L’entrée est réécrite : $$$\int{y^{2} \ln{\left(x^{2} \right)} d x}=\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x}$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=2 y^{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 y^{2} \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Par conséquent,

$$2 y^{2} {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=2 y^{2} {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=2 y^{2} {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dx = c x$$$ avec $$$c=1$$$:

$$2 y^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{1 d x}}}\right) = 2 y^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{x}}\right)$$

Par conséquent,

$$\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = 2 y^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - x\right)$$

Simplifier:

$$\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = 2 x y^{2} \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = 2 x y^{2} \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int y^{2} \ln\left(x^{2}\right)\, dx = 2 x y^{2} \left(\ln\left(x\right) - 1\right) + C$$$A