Ολοκλήρωμα της $$$y^{2} \ln\left(x^{2}\right)$$$ ως προς $$$x$$$

Βρείτε $$$\int y^{2} \ln\left(x^{2}\right)\, dx$$$.

Η είσοδος επαναγράφεται: $$$\int{y^{2} \ln{\left(x^{2} \right)} d x}=\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x}$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=2 y^{2}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 y^{2} \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Έστω $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ και $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Τότε $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$$2 y^{2} {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=2 y^{2} {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=2 y^{2} {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=1$$$:

$$2 y^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{1 d x}}}\right) = 2 y^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{x}}\right)$$

Επομένως,

$$\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = 2 y^{2} \left(x \ln{\left(x \right)} - x\right)$$

Απλοποιήστε:

$$\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = 2 x y^{2} \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{2 y^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = 2 x y^{2} \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int y^{2} \ln\left(x^{2}\right)\, dx = 2 x y^{2} \left(\ln\left(x\right) - 1\right) + C$$$A