$$$5 e^{- x^{2}}$$$の積分

$$$\int 5 e^{- x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=5$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{- x^{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{5 e^{- x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(5 \int{e^{- x^{2}} d x}\right)}}$$

この積分（誤差関数）には閉形式はありません:

$$5 {\color{red}{\int{e^{- x^{2}} d x}}} = 5 {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{5 e^{- x^{2}} d x} = \frac{5 \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{5 e^{- x^{2}} d x} = \frac{5 \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int 5 e^{- x^{2}}\, dx = \frac{5 \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + C$$$A