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$$$\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
被積分関数を簡単化する:
$${\color{red}{\int{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}\right)}}$$
この積分（第二種不完全楕円積分）には閉形式はありません:
$$2 {\color{red}{\int{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = 2 {\color{red}{E\left(x\middle| 1\right)}}$$
したがって、
$$\int{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}} d x} = 2 E\left(x\middle| 1\right)$$
積分定数を加える:
$$\int{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}} d x} = 2 E\left(x\middle| 1\right)+C$$
解答
$$$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 E\left(x\middle| 1\right) + C$$$A