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Integrale di $$$\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}}$$$
Calcolatore correlato: Calcolatore di integrali definiti e impropri
Il tuo input
Trova $$$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$.
Soluzione
Semplifica l’integranda:
$${\color{red}{\int{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$
Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}$$$:
$${\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}\right)}}$$
Questo integrale (Integrale ellittico incompleto di seconda specie) non ha una forma chiusa:
$$2 {\color{red}{\int{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = 2 {\color{red}{E\left(x\middle| 1\right)}}$$
Pertanto,
$$\int{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}} d x} = 2 E\left(x\middle| 1\right)$$
Aggiungi la costante di integrazione:
$$\int{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}} d x} = 2 E\left(x\middle| 1\right)+C$$
Risposta
$$$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 E\left(x\middle| 1\right) + C$$$A