|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Integralen av $$$\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}}$$$
Relaterad kalkylator: Kalkylator för bestämda och oegentliga integraler
Din inmatning
Bestäm $$$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$.
Lösning
Förenkla integranden:
$${\color{red}{\int{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$
Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=2$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}$$$:
$${\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}\right)}}$$
Denna integral (Ofullständig elliptisk integral av andra slaget) har ingen sluten form:
$$2 {\color{red}{\int{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = 2 {\color{red}{E\left(x\middle| 1\right)}}$$
Alltså,
$$\int{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}} d x} = 2 E\left(x\middle| 1\right)$$
Lägg till integrationskonstanten:
$$\int{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}} d x} = 2 E\left(x\middle| 1\right)+C$$
Svar
$$$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 E\left(x\middle| 1\right) + C$$$A