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$$$x^{7 x}$$$の導関数
入力内容
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{7 x}\right)$$$ を求めよ。
解答
$$$H{\left(x \right)} = x^{7 x}$$$ とする。
両辺の対数を取る: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{7 x}\right)$$$.
対数の性質を用いて右辺を書き換えよ: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 7 x \ln\left(x\right)$$$。
方程式の両辺をそれぞれ微分せよ: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right)$$$
方程式の左辺を微分せよ。
関数$$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$と$$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$の合成$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$である。
連鎖律 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を適用する:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$自然対数の導関数は $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$元の変数に戻す:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$。
方程式の右辺を微分する。
定数倍の法則 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ を $$$c = 7$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$$$ に対して適用します:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(7 \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}$$積の微分法 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を $$$f{\left(x \right)} = x$$$ と $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ に適用する:
$$7 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = 7 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$自然対数の導関数は $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$7 x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + 7 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right) = 7 x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + 7 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)$$$$$n = 1$$$ を用いて冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を適用すると、すなわち $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$7 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 7 = 7 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 7$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right) = 7 \ln\left(x\right) + 7$$$。
したがって、$$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = 7 \ln\left(x\right) + 7$$$。
したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(7 \ln\left(x\right) + 7\right) H{\left(x \right)} = 7 x^{7 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$。
解答
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{7 x}\right) = 7 x^{7 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A