|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$x^{7 x}$$$'in türevi
İlgili hesap makinesi: Türev Hesaplayıcı
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d}{dx} \left(x^{7 x}\right)$$$.
Çözüm
$$$H{\left(x \right)} = x^{7 x}$$$ olsun.
Her iki tarafın logaritmasını alın: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{7 x}\right)$$$.
Logaritmaların özelliklerini kullanarak eşitliğin sağ tarafını yeniden yazın: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 7 x \ln\left(x\right)$$$.
Denklemin her iki tarafının türevini ayrı ayrı alın: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right)$$$.
Denklemin sol tarafının türevini alın.
$$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$Doğal logaritmanın türevi $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.
Denklemin sağ tarafının türevini alın.
Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = 7$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$$$ ile uygula:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(7 \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}$$Çarpım kuralını $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ ile $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ kullanarak uygulayın:
$$7 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = 7 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Doğal logaritmanın türevi $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$7 x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + 7 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right) = 7 x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + 7 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$7 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 7 = 7 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 7$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right) = 7 \ln\left(x\right) + 7$$$.
Dolayısıyla, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = 7 \ln\left(x\right) + 7$$$.
Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(7 \ln\left(x\right) + 7\right) H{\left(x \right)} = 7 x^{7 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.
Cevap
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{7 x}\right) = 7 x^{7 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A