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Dérivée seconde de $$$x^{e}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivées, Calculatrice de dérivation logarithmique
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(x^{e}\right)$$$.
Solution
Trouvez la dérivée première $$$\frac{d}{dx} \left(x^{e}\right)$$$
Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = e$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{e}\right)\right)} = {\color{red}\left(e x^{-1 + e}\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(x^{e}\right) = e x^{-1 + e}$$$.
Ensuite, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(x^{e}\right) = \frac{d}{dx} \left(e x^{-1 + e}\right)$$$
Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = e$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x^{-1 + e}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e x^{-1 + e}\right)\right)} = {\color{red}\left(e \frac{d}{dx} \left(x^{-1 + e}\right)\right)}$$Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = -1 + e$$$:
$$e {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{-1 + e}\right)\right)} = e {\color{red}\left(\left(-1 + e\right) x^{-2 + e}\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(e x^{-1 + e}\right) = e x^{-2 + e} \left(-1 + e\right)$$$.
Donc, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(x^{e}\right) = e x^{-2 + e} \left(-1 + e\right)$$$.
Réponse
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(x^{e}\right) = e x^{-2 + e} \left(-1 + e\right)$$$A