Integral von $$$\frac{4 x}{x^{2} - 1}$$$

Bestimme $$$\int \frac{4 x}{x^{2} - 1}\, dx$$$.

Sei $$$u=x^{2} - 1$$$.

Dann $$$du=\left(x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{\frac{4 x}{x^{2} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{u} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=2$$$ und $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

Das Integral von $$$\frac{1}{u}$$$ ist $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=x^{2} - 1$$$:

$$2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x^{2} - 1\right)}}}\right| \right)}$$

Daher,

$$\int{\frac{4 x}{x^{2} - 1} d x} = 2 \ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{4 x}{x^{2} - 1} d x} = 2 \ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{4 x}{x^{2} - 1}\, dx = 2 \ln\left(\left|{x^{2} - 1}\right|\right) + C$$$A