$$$\frac{4 x}{x^{2} - 1}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{4 x}{x^{2} - 1}\, dx$$$。

设$$$u=x^{2} - 1$$$。

则$$$du=\left(x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x dx = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{4 x}{x^{2} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{u} d u}}}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2}{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的积分为 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

回忆一下 $$$u=x^{2} - 1$$$:

$$2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x^{2} - 1\right)}}}\right| \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{4 x}{x^{2} - 1} d x} = 2 \ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{4 x}{x^{2} - 1} d x} = 2 \ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{4 x}{x^{2} - 1}\, dx = 2 \ln\left(\left|{x^{2} - 1}\right|\right) + C$$$A