Integral von $$$\frac{x}{1 - x}$$$

Bestimme $$$\int \frac{x}{1 - x}\, dx$$$.

Schreiben Sie den Zähler des Integranden als $$$x=-1\left(1 - x\right)+1$$$ um und zerlegen Sie den Bruch:

$${\color{red}{\int{\frac{x}{1 - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - x}\right)d x}}}$$

Gliedweise integrieren:

$${\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{\frac{1}{1 - x} d x}\right)}}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, dx = c x$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$$\int{\frac{1}{1 - x} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\frac{1}{1 - x} d x} - {\color{red}{x}}$$

Sei $$$u=1 - x$$$.

Dann $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = - du$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$$- x + {\color{red}{\int{\frac{1}{1 - x} d x}}} = - x + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=-1$$$ und $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ an:

$$- x + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = - x + {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

Das Integral von $$$\frac{1}{u}$$$ ist $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- x - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - x - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=1 - x$$$:

$$- x - \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - x - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - x\right)}}}\right| \right)}$$

Daher,

$$\int{\frac{x}{1 - x} d x} = - x - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{x}{1 - x} d x} = - x - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{1 - x}\, dx = \left(- x - \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)\right) + C$$$A