$$$\frac{x}{1 - x}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{x}{1 - x}\, dx$$$。

將被積函數的分子改寫為 $$$x=-1\left(1 - x\right)+1$$$，並將分式拆分:

$${\color{red}{\int{\frac{x}{1 - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - x}\right)d x}}}$$

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{\frac{1}{1 - x} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$\int{\frac{1}{1 - x} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\frac{1}{1 - x} d x} - {\color{red}{x}}$$

令 $$$u=1 - x$$$。

則 $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

因此，

$$- x + {\color{red}{\int{\frac{1}{1 - x} d x}}} = - x + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$：

$$- x + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = - x + {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$- x - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - x - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=1 - x$$$：

$$- x - \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - x - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - x\right)}}}\right| \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{x}{1 - x} d x} = - x - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{x}{1 - x} d x} = - x - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{1 - x}\, dx = \left(- x - \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)\right) + C$$$A