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$$$a \epsilon \sigma t^{4}$$$ 對 $$$t$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int a \epsilon \sigma t^{4}\, dt$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=a \epsilon \sigma$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = t^{4}$$$：
$${\color{red}{\int{a \epsilon \sigma t^{4} d t}}} = {\color{red}{a \epsilon \sigma \int{t^{4} d t}}}$$
套用冪次法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=4$$$：
$$a \epsilon \sigma {\color{red}{\int{t^{4} d t}}}=a \epsilon \sigma {\color{red}{\frac{t^{1 + 4}}{1 + 4}}}=a \epsilon \sigma {\color{red}{\left(\frac{t^{5}}{5}\right)}}$$
因此，
$$\int{a \epsilon \sigma t^{4} d t} = \frac{a \epsilon \sigma t^{5}}{5}$$
加上積分常數：
$$\int{a \epsilon \sigma t^{4} d t} = \frac{a \epsilon \sigma t^{5}}{5}+C$$
答案
$$$\int a \epsilon \sigma t^{4}\, dt = \frac{a \epsilon \sigma t^{5}}{5} + C$$$A