$$$e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}$$$ 的積分

求$$$\int e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=e^{x}$$$。

則 $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$e^{x} dx = du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=e^{x}$$$：

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{e^{x}}} \right)}$$

因此，

$$\int{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} d x} = - \cos{\left(e^{x} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} d x} = - \cos{\left(e^{x} \right)}+C$$

$$$\int e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}\, dx = - \cos{\left(e^{x} \right)} + C$$$A