Integralen av $$$e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}$$$

Bestäm $$$\int e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}\, dx$$$.

Låt $$$u=e^{x}$$$ vara.

Då $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$e^{x} dx = du$$$.

Integralen kan omskrivas som

$${\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

Integralen av sinus är $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Kom ihåg att $$$u=e^{x}$$$:

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{e^{x}}} \right)}$$

Alltså,

$$\int{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} d x} = - \cos{\left(e^{x} \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} d x} = - \cos{\left(e^{x} \right)}+C$$

$$$\int e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}\, dx = - \cos{\left(e^{x} \right)} + C$$$A