Intégrale de $$$e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}$$$

Déterminez $$$\int e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=e^{x}$$$.

Alors $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$e^{x} dx = du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=e^{x}$$$ :

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{e^{x}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} d x} = - \cos{\left(e^{x} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} d x} = - \cos{\left(e^{x} \right)}+C$$

$$$\int e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}\, dx = - \cos{\left(e^{x} \right)} + C$$$A