$$$\frac{1}{2 n - 1}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{2 n - 1}\, dn$$$。

令 $$$u=2 n - 1$$$。

則 $$$du=\left(2 n - 1\right)^{\prime }dn = 2 dn$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dn = \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 n - 1} d n}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 n - 1$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 n - 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{2 n - 1} d n} = \frac{\ln{\left(\left|{2 n - 1}\right| \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{2 n - 1} d n} = \frac{\ln{\left(\left|{2 n - 1}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{2 n - 1}\, dn = \frac{\ln\left(\left|{2 n - 1}\right|\right)}{2} + C$$$A