$$$x^{3} e^{x^{4}}$$$ 的積分

求$$$\int x^{3} e^{x^{4}}\, dx$$$。

令 $$$u=x^{4}$$$。

則 $$$du=\left(x^{4}\right)^{\prime }dx = 4 x^{3} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x^{3} dx = \frac{du}{4}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

回顧一下 $$$u=x^{4}$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = \frac{e^{{\color{red}{x^{4}}}}}{4}$$

因此，

$$\int{x^{3} e^{x^{4}} d x} = \frac{e^{x^{4}}}{4}$$

加上積分常數：

$$\int{x^{3} e^{x^{4}} d x} = \frac{e^{x^{4}}}{4}+C$$

$$$\int x^{3} e^{x^{4}}\, dx = \frac{e^{x^{4}}}{4} + C$$$A