$$$x^{3} e^{x^{4}}$$$の積分

$$$\int x^{3} e^{x^{4}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{4}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{4}\right)^{\prime }dx = 4 x^{3} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x^{3} dx = \frac{du}{4}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{4}$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = \frac{e^{{\color{red}{x^{4}}}}}{4}$$

したがって、

$$\int{x^{3} e^{x^{4}} d x} = \frac{e^{x^{4}}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{3} e^{x^{4}} d x} = \frac{e^{x^{4}}}{4}+C$$

$$$\int x^{3} e^{x^{4}}\, dx = \frac{e^{x^{4}}}{4} + C$$$A